【数学】令和2年度 福岡県立高校学力検査問題の類題を解説 大問3

福岡県立高等学校入学者選抜学力検査問題。通称「共通問題」。

当塾では個別指導をベースとしつつ、福岡市内一部の公立中学生を対象に集団授業を行うことから、高校入試の過去問も取り扱っていきます!

 

今回は、令和2年度の数学

全く同じ問題は以下のサイトから閲覧できるため、類題として演習していきます!

令和2年度 福岡県立高校入試問題はこちら

※当問題の引用は福岡県教育庁教育振興部高校教育課に許可を得ております。また、以下解説における責任の一切は当ブログ管理人によるものとします。

 

問題 場合の数

正五角形の頂点をそれぞれA, B, C, D, Eとする。頂点Aに点Pをおく。また、箱の中に1~8の番号が書かれたカードを1枚ずつ入れる。次の手順を1回行い、点Pを動かす。

【手順】

①箱から同時に2枚のカードを出す。

②取り出した2枚のカードの和だけ、Aから反時計回りにB、C、D・・・と移動させる。

 

 

(1)上記の手順で進める時、点Pが頂点Cと重なる場合は何通りあるでしょうか。

点Pから点Cまで、2マス離れていますね。

「あ、じゃあカードの和が2になればええやん!」

・・・と言いたいところですが、和が2になるのは不可能。なぜなら、カードは1~8がそれぞれ1枚ずつです。「1+1」はありえません!

 

だとしたら、どうやって頂点Cにたどり着くか?

 

もう一周、余分に回ってみましょう!

つまり2+5マス、すなわち7マス進むとCと重なります

 

最も大きな和は、「7+8=15マス」より

さらにもう1周まで回ることができそうですね!つまり7+5=12マスでもCと重なります。

以上、

(ⅰ)7マス進むとき

(ⅱ)12マス進むとき

場合分けして考えていきましょう。ややこしい場合の数や確率を考える際、場合分けして整理することがとても大切です!同時に考えたらややこしいです。

 

(ⅰ)7マス進むとき

 

1~8のカードから2つ選び、その和が7になれば良い。

例えば1と6を引けばOK ですね!それを(1, 6)と表しましょう。

 

すると、(2, 5)、(3, 4)が考えられます。

以上、(1, 6)、(2, 5)、(3, 4)の3通りです。

 

(ⅱ)12マス進むとき

同様に、12マス進む場合も考えてみましょう。

1~8のカードから2つ選び、その和が12になれば良い。

すると、(4, 8)、(5, 7)の2通りです。

 

(ⅰ)(ⅱ)の事象は互いに排反なので、求める場合の数は

3 + 2 = 5

答え:5通り

 

ペアをひっくり返さないのか?

ちなみに、先ほどのペアについて

「(8, 4)とかもokじゃね?」

と思った方はいますでしょうか。今回は、ペアの書く順番をひっくり返す場合は数えません!!

 

なぜなら、問題文より「同時に2枚のカードを取り出す」からです。つまり順番は関係なし!

(※確率を求める際は、順番を区別しても計算可能です。それはまた別の記事でお話しします。)

 

 

(2)確率は場合の数を2種類調べるだけ

(2)1~8のカードの中に、もう1枚「1」のカードを追加します。この状態で上記の手順を行うとき、以下の2つの確率のどちらが大きいでしょうか。

・点Pが頂点Aと重なる確率

・点Pが頂点Dと重なる確率

 

先ほどと同じように、それぞれを場合分けして確率を求めていきましょう!

 

(ⅲ)点Pが頂点Aと重なる確率

 

ある事象Aが起こる確率とは

(分子:事象Aの場合の数 分母:起こりうる全ての場合の数)

今回だと、

となりますね!

 

5マス(1周)、10マス(2周)、15マス(3周)進む場合が考えられます。

それぞれ数える前に、ちょっと注意点。それは、「1」のカードが1枚増えてしまっていること。2枚の「1」のカードは区別して考えないといけないので、図のようにします。

・5マスの場合の数は

(1a, 4)、(1b, 4)、(2, 3)の3通り。

・10マスの場合の数は

(2, 8)、(3, 7)、(4, 6)の3通り。

・15マスの場合の数は

(7, 8)の1通り。

 

以上、上記3つの事象は互いに排反なので、

合計で3+3+1=7通りです。

 

そして、起こりうる全ての場合の数は何通りか。

1〜8までのカード(ただし1は2枚ある)の合計9枚から2枚のペアを選ぶ場合の数。すなわち

 

(ⅳ)点Pが頂点Dと重なる確率

 

(ⅲ)と同様に考えて、点Pが頂点Dと重なるのは

3マス8マス13マスのいずれかの場合が考えられる。

 

・3マスの場合の数は

(1a, 2)、(1b, 2)の2通り。

・8マスの場合の数は

(1a, 7)、(1b, 7)、(2, 6)、(3, 5)の4通り。

・13マスの場合の数は

(5, 8)、(6, 7)の2通り。

 

以上、上記3つの事象は互いに排反なので、

合計で2+4+2=8通りです。

また、起こりうる全ての場合の数は36通り。

 

(ⅲ)(ⅳ)より点Pが頂点Dと重なる確率の方が高い。

 

確率ではなく、場合の数で比べても良い

 

起こりうる全ての場合の数、すなわち分母が同じことから、(ⅲ)(ⅳ)の確率を比べずとも、分子だけ比べてOKです。

すなわち、

・点Pが頂点Aと重なる場合の数=7通り

・点Pが頂点Dと重なる場合の数=8通り

この時点で答えを出すこともできます。

 

それでは!

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